Question

（本小題滿分16分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，A為上端點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）.

（1）若，求橢圓的離心率；

（2）若且，求橢圓方程；

（3）若存在一點(diǎn)P使為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由AF1⊥AF2，根據(jù)對(duì)稱性，△F1AF2為等腰直角三角形，即AO=OF2，從而得到b=c，結(jié)合a2=b2+c2，可求橢圓的離心率；

（2）由點(diǎn)的坐標(biāo)求得 的坐標(biāo)，代入

求得c的值，再由P（-4，3）在橢圓上聯(lián)立方程組求得a2，b2的值，則橢圓方程可求；

（3）由∠F1PF2為鈍角，得到 有解，轉(zhuǎn)化為c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得橢圓離心率的取值范圍．

試題解析：

（1）如圖，若，據(jù)對(duì)稱性，為等腰直角三角形，即，即，

故 5分

（2）設(shè)，則有

，知

又解得

即橢圓方程為 10分

（3）設(shè)，則，即，易見. 若當(dāng)為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)有解，

即有解，即.

又，

即.

故即即

即又即 16分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系，平面向量數(shù)量積在解題中的應(yīng)用與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法