Question

15．球面上四點A，B，C，D滿足AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2，若三棱錐D-ABC體積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則這個球體的表面積為$\frac{100π}{9}$．

Answer 1

分析 確定AB⊥AC，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三棱錐D-ABC的體積的最大值為3，可得D到平面ABC的最大距離為3，再利用射影定理，即可求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2，
∴AB⊥BC，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵三棱錐D-ABC的體積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴D到平面ABC的最大距離為3，
設(shè)球的半徑為R，則1²=3×（2R-3），
∴R=$\frac{5}{3}$，
∴球O的表面積為4πR²=$\frac{100π}{9}$．
故答案為：$\frac{100π}{9}$

點評 本題考查球的半徑，考查體積的計算，確定D到平面ABC的最大距離為3是關(guān)鍵．