Question

等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₁=1，a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，求滿足T_n＞

100

207

的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，解出d=2，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，即數(shù)列

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），再求和，解不等式即可確定最小的最小正整數(shù)n．

解答： 解：（1）a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，則a₂²=a₁a₅，
（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），即有d²=2d（d≠0），
則d=2．
則a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）數(shù)列

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．

1

2

（1-

1

2n+1

）＞

100

207

即為2n+1＞

207

7

，即n＞

100

7

，
則滿足T_n＞

100

207

的最小正整數(shù)n為15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．