Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosφ}\\{y=1+tsinφ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓C的方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）當(dāng)φ∈（0，π）時(shí)，l與C相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為2，直線過點(diǎn)A（3，1），CA⊥PQ時(shí)，可求|PQ|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosφ}\\{y=1+tsinφ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y-1=tanφ（x-3），
圓C的方程為ρ=4cosθ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為2，直線過點(diǎn)A（3，1），∴|CA|=$\sqrt{2}$，
∴CA⊥PQ時(shí)，|PQ|的最小值為2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題．