16.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AB=AP,E為棱PD的中點(diǎn)
(Ⅰ)求直線AE與平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅱ)若F為AB的中點(diǎn),棱PC上是否存在一點(diǎn)M,使得FM⊥AC,若存在,求出$\frac{PM}{MC}$的值,若不存在,說明理由.

分析 (I)以A為原點(diǎn)建系,設(shè)AB=2,求出$\overrightarrow{AE}$和平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$,則所求的線面角的最小值等于|cos<$\overrightarrow{AE},\overrightarrow{n}$>|;
(II)設(shè)$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$,求出$\overrightarrow{FM}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo),令$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}=0$解出λ即可得出$\frac{PM}{MC}$的值.

解答 解:(Ⅰ)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)AB=AP=2,
則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).
∴$\overrightarrow{AE}$=(0,1,1),$\overrightarrow{BD}$=(-2,2,0),$\overrightarrow{BP}$=(-2,0,2),
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$,
令z=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,1).
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{AE}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴直線AE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.  
(Ⅱ)C(2,2,0),F(xiàn)(1,0,0),
∴$\overrightarrow{CP}$=(-2,-2,2),$\overrightarrow{AC}$=(2,2,0),$\overrightarrow{FC}$=(1,2,0).
設(shè)$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
∴$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}$=(1-2λ,2-2λ,2λ),
∵FM⊥AC,∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}=0$,
∴2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算,空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.

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