分析 (I)以A為原點(diǎn)建系,設(shè)AB=2,求出$\overrightarrow{AE}$和平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$,則所求的線面角的最小值等于|cos<$\overrightarrow{AE},\overrightarrow{n}$>|;
(II)設(shè)$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$,求出$\overrightarrow{FM}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo),令$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}=0$解出λ即可得出$\frac{PM}{MC}$的值.
解答 解:(Ⅰ)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=AP=2,
則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).
∴$\overrightarrow{AE}$=(0,1,1),$\overrightarrow{BD}$=(-2,2,0),$\overrightarrow{BP}$=(-2,0,2),
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$,
令z=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,1).
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{AE}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴直線AE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
(Ⅱ)C(2,2,0),F(xiàn)(1,0,0),
∴$\overrightarrow{CP}$=(-2,-2,2),$\overrightarrow{AC}$=(2,2,0),$\overrightarrow{FC}$=(1,2,0).
設(shè)$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
∴$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}$=(1-2λ,2-2λ,2λ),
∵FM⊥AC,∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}=0$,
∴2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算,空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 某校高二年級(jí)有10個(gè)班,1班62人,2班61人,3班62人,由此推測各班人數(shù)都超過60人 | |
B. | 根據(jù)三角形的性質(zhì),可以推測空間四面體的性質(zhì) | |
C. | 平行四邊形對(duì)角線互相平分,矩形是平行四邊形,所以矩形的對(duì)角線互相平分 | |
D. | 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$,n∈N*,計(jì)算a2,a3,由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3f(2)>2f(3) | B. | 3f(2)=2f(3) | ||
C. | 3f(2)<2f(3) | D. | 3f(2)與2f(3)的大小不確定. |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ | B. | -$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{5\sqrt{17}}{17}$ | D. | -$\frac{5\sqrt{17}}{17}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com