Question

2．已知不等式ln（x+1）-（a+2）x≤b-2恒成立，則$\frac{b-3}{a+2}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{e}$-2
• B． 1-2e
• C． 1-e
• D． 2-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 令y=ln（x+1）-（a+2）x-b+2，求出導(dǎo)數(shù)，分類討論，進而得到b-3≥-ln（a+2）+a，可得$\frac{b-3}{a+2}$≥$\frac{-ln（a+2）+a}{a+2}$，再換元，通過導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，進而得到$\frac{b-3}{a+2}$的最小值．

解答 解：令y=ln（x+1）-（a+2）x-b+2，則y′=$\frac{1}{x+1}$-（a+2），
a+2＜0，y′＞0，函數(shù)遞增，無最值．
當(dāng)a+2＞0時，-1＜x＜$\frac{-a-1}{a+2}$時，y′＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)x＞$\frac{-a-1}{a+2}$時，y′＜0，函數(shù)遞減．
則x=$\frac{-a-1}{a+2}$處取得極大值，也為最大值，且為-ln（a+2）+a-b+3，
∴-ln（a+2）+a-b+3≤0，
∴b-3≥-ln（a+2）+a，
∴$\frac{b-3}{a+2}$≥$\frac{-ln（a+2）+a}{a+2}$，
令t=a+2（t＞0），則y=$\frac{-lnt+t-2}{t}$，
∴y′=$\frac{1+lnt}{{t}^{2}}$，
∴（0，$\frac{1}{e}$）上，y′＜0，（$\frac{1}{e}$，+∞）上，y′＞0，
∴t=$\frac{1}{e}$，y_min=1-e．
∴$\frac{b-3}{a+2}$的最小值為1-e．
故選：C．

點評 本題考查不等式的恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求極值和最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．