Question

已知定義在R上的凼數y=f（x）滿足f（x+A+B）=f（x），其中A，B分別是函數g（x）=

|x|+sinx+1

|x|+1

的最大值和最小值，若當0≤x≤1時，f（x）=（

1

2

）^x，則f（2015）=（　�。�

• A、1
• B、0
• C、-

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：令f（x）=g（x）-1=

sinx

1+|x|

，判斷f（x）為奇函數，可得A+B=2，再由周期函數的定義，可得f（x）為最小正周期為2的函數，則f（2015）=f（1），由已知解析式，計算即可得到．

解答： 解：g（x）=

|x|+sinx+1

|x|+1

=1+

sinx

1+|x|

，
令f（x）=g（x）-1=

sinx

1+|x|

，
f（-x）=-

sinx

1+|x|

=-f（x），
則有f（x）為奇函數，
設f（x）的最大值為m，則最小值為-m，
則A=m+1，B=-m+1，
即有A+B=2，
則f（x+2）=f（x），
則f（x）為最小正周期為2的函數，
即有f（2015）=f（2×1007+1）=f（1），
當0≤x≤1時，f（x）=（

1

2

）^x，
則f（1）=

1

2

．
即f（2015）=

1

2

．
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性的運用：求最值，考查函數的周期性的運用：求函數值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．