Question

9．如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點(diǎn)的平面示意圖，半徑OA的長為1百米．為了保護(hù)景點(diǎn)，基地管理部門從道路l上選取一點(diǎn)C，修建參觀線路C-D-E-F，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形，設(shè)DE=t百米，記修建每1百米參觀線路的費(fèi)用為f（t）萬元，經(jīng)測(cè)算f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{5，0＜t≤\frac{1}{3}}\\{8-\frac{1}{t}，\frac{1}{3}＜t＜2}\end{array}\right.$

（1）用t表示線段EF的長；
（2）求修建參觀線路的最低費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）設(shè)DQ與半圓相切于點(diǎn)Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy．設(shè)EF與圓切于G點(diǎn)，連接OG，過點(diǎn)E作EH⊥OF，垂足為H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF-$\frac{1}{2}$t．利用EF²=1+HF²=1+$（EF-\frac{1}{2}t）^{2}$，解得EF．
（2）設(shè)修建該參觀線路的費(fèi)用為y萬元．
①當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{3}$，由y=5$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=5$（\frac{3}{2}t+\frac{2}{t}）$．利用y′，可得y在$（0，\frac{1}{3}]$上單調(diào)遞減，即可得出y的最小值．
②當(dāng)$\frac{1}{3}＜t＜2$時(shí)，y=$（8-\frac{1}{t}）$$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=12t+$\frac{16}{t}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可得出．

解答 解：（1）設(shè)DQ與半圓相切于點(diǎn)Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，
以CF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系xoy．
設(shè)EF與圓切于G點(diǎn)，連接OG，過點(diǎn)E作EH⊥OF，垂足為H．
∵EH=OG，∠OFG=∠EFH，∠GOF=∠HEF，
∴Rt△EHF≌Rt△OGF，∴HF=FG=EF-$\frac{1}{2}$t．
∴EF²=1+HF²=1+$（EF-\frac{1}{2}t）^{2}$，
解得EF=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$（0＜t＜2）．
（2）設(shè)修建該參觀線路的費(fèi)用為y萬元．
①當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{3}$，由y=5$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=5$（\frac{3}{2}t+\frac{2}{t}）$．y′=$5（\frac{3}{2}-\frac{2}{{t}^{2}}）$＜0，可得y在$（0，\frac{1}{3}]$上單調(diào)遞減，
∴t=$\frac{1}{3}$時(shí)，y取得最小值為32.5．
②當(dāng)$\frac{1}{3}＜t＜2$時(shí)，y=$（8-\frac{1}{t}）$$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=12t+$\frac{16}{t}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$．
y′=12-$\frac{16}{{t}^{2}}$+$\frac{2}{{t}^{3}}$=$\frac{4（t-1）（3{t}^{2}+3t-1）}{{t}^{3}}$．
∵$\frac{1}{3}＜t＜2$，∴3t²+3t-1＞0．
∴t∈$（\frac{1}{3}，1）$時(shí)，y′＜0，函數(shù)y此時(shí)單調(diào)遞減；t∈（1，2）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y此時(shí)單調(diào)遞增．
∴t=1時(shí)，函數(shù)y取得最小值24.5．
由 ①②知，t=1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為24.5．
答：（1）EF=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$（0＜t＜2）（百米）．（2）修建該參觀線路的最低費(fèi)用為24.5萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、不等式的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．