Question

14．已知函數(shù)f₀（x）=$\frac{cx+d}{ax+b}$（a≠0，ac-bd≠0），設(shè)f_n（x）為f_n-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）
（2）猜想f_n（x）的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用條件，分別代入直接求解；
（2）先說明當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)n=K（K∈N^*）時(shí)，猜想成立，證明n=K+1時(shí)，猜想也成立．從而得證．

解答 解：（1）f₁（x）=f₀′（x）=$\frac{bc-ad}{（ax+b）^{2}}$，
f₂（x）=f₁′（x）=[$\frac{bc-ad}{（ax+b）^{2}}$]′=$\frac{-2a（bc-ad）}{（ax+b）^{3}}$；
（2）猜想f_n（x）=$\frac{（-1）^{n-1}•{a}^{n-1}•（bc-ad）•n！}{（ax+b）^{n+1}}$，n∈N*，
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知結(jié)論正確；
②假設(shè)當(dāng)n=k，k∈N*時(shí)，結(jié)論正確，
即有f_k（x）=$\frac{（-1）^{k-1}•{a}^{k-1}（bc-ad）•k！}{（ax+b）^{k+1}}$
=（-1）^k-1a^k-1（bc-ad）•（k+1）![（ax+b）^-（k+1）]′=$\frac{（-1）^{k}•{a}^{k-1}•（bc-ad）•k!}{（ax+b）^{k+2}}$
所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，
由①②得，對(duì)一切n∈N*結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，應(yīng)注意證題的完整性．