Question

19．已知函數f（x）=3sin（2x+φ），（|φ|＜$\frac{π}{2}$）向左平移$\frac{π}{3}$單位后是偶函數．
（1）求φ的值；
（2）求函數f（x）的最小值及相對應自變量x的集合．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象的平移變換法則，可求出平移后函數的解析式，進而根據正弦型函數的奇偶性，求出φ的值；
（2）由f（x）的解析式，當2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，進一步求出當x∈{x|x=$-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z）}時，3sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-3．

解答 解：（1）將函數f（x）=3sin（2x+φ）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$單位后得到：
g（x）=3sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+φ]的圖象，
即g（x）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）．
∵函數g（x）為偶函數
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=$kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）可得函數f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，解得x=$-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z）時，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，
∴函數f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-3．
∴3sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-3，此時x的取值集合為{x|x=$-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z）}．

點評 本題考查了根據函數圖象的平移變換法則，求平移后函數的解析式，考查了三角函數取得最值時的集合，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．