Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx的圖象與直線l：y=-2x+c相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式和直線l的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線方程．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）因?yàn)閒′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，所以-2=f'（1）=2+a，所以a=-4，
所以f（x）=x²-4lnx，
所以f（1）=1，所以切點(diǎn)為（1，1），所以c=3，
所以直線l的方程為y=-2x+3；
（2）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
所以由f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-4}{x}$＞0得x＞$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\sqrt{2}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\sqrt{2}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．