Question

2．過拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于A、B兩點，則|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標F，用點斜式設出直線方程與拋物線方程聯解得一個關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系結合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答 解：根據拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$方程得：焦點坐標F（0，1），
直線AB的斜率為k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直線方程的點斜式方程，設AB：y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
將直線方程代入到拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$中，得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數的關系得：x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
x₁x₂=-4．
弦長|AB|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}•\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+16}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于中檔題．本題運用了直線方程與拋物線方程聯解的方法，對運算的要求較高．利用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式是解決本題的關鍵．