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【題目】已知函數(a為常數)的圖象與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為

(1)求的值及函數的極值；

(2)證明：當時，

【答案】（1）當x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝2－ln4，f(x)無極大值．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）首先求點的坐標，再根據，解得的值，然后求的值，以及兩側的單調性，根據單調性求得函數的極值；（2）設函數 ，根據（1）的結果可知函數單調遞增，即證.

試題解析：　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.

當x<ln2時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x>ln2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

所以當x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)無極大值．

(2)令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，

故g(x)在R上單調遞增，又g(0)＝1>0，因此，當x>0時，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數 同時滿足以下兩個條件：
①x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
則實數a的取值范圍為 ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知⊙O的方程為x2+y2=10．
（1）求直線：x=1被⊙O截的弦AB的長；
（2）求過點（﹣3，1）且與⊙O相切的直線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4﹣1：平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．

（1）求證：∠DEA=∠DFA；
（2）若∠EBA=30°，EF= ，EA=2AC，求AF的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數按分組，其頻率分布直方圖如圖所示，學校要求每名教師都要參加兩項培訓，培訓結束后進行結業(yè)考試．已知各年齡段兩項培訓結業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數如表示，假設兩項培訓是相互獨立的，結業(yè)考試成績也互不影響．

年齡分組

A項培訓成績優(yōu)秀人數

B項培訓成績優(yōu)秀人數

[20，30）

30

18

[30，40）

36

24

[40，50）

12

9

[50，60]

4

3


（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個容量為40的樣本，求從年齡段[20，30）抽取的人數；
（2）求全校教師的平均年齡；
（3）隨機從年齡段[20，30）和[30，40）內各抽取1人，設這兩人中兩項培訓結業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數為X，求X的概率分布和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設P（x0，y0）是函數f（x）圖象上任意一點，且y02≥x02，則f（x）的解析式可以是_____．（填序號）

①f（x）=x﹣②f（x）=ex﹣1（e≈2.718，是一個重要常數）③f（x）=x+④y=x2

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知定義域為R的函數是奇函數．

(1)求a，b的值；

(2)解關于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=x|2x﹣a|﹣1．

①當a=0時，不等式f（x）+1＞0的解集為_____；

②若函數f（x）有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是_____．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題中_________為真命題．

①“A∩B=A”成立的必要條件是“AB”； w ②“若x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命題； ④“圓內接四邊形對角互補”的逆否命題．

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