Question

7．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為（1-sin²θ）•ρ=sinθ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x的正方向建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）若點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（-1，0），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直線的極坐標(biāo)方程，以及將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；
（Ⅱ）法一：聯(lián)立直線和曲線，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，表示出|MA|，|MB|，求值即可；法二：根據(jù)參數(shù)的結(jié)合意義計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）直線l的普通方程為方程為x-y+1=0，
故直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-1$；              （3分）
曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=x²（6分）
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y={x^2}}\end{array}⇒{x^2}-x-1=0，⇒{x_1}=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}，或{x_2}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
不妨設(shè)$A（{\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}），B（{\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，
所以$|{MA}|=\sqrt{2}（{\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，$|{MB}|=\sqrt{2}（{\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，
所以|MA|•|MB|=2（12分）
另法：由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}代入y={x^2}⇒{t^2}-3\sqrt{2}t+2=0$，
由t的幾何意義得|MA|•|MB|=2（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)以及參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)的幾何意義以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．