Question

9．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=1，$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+（-n）•b_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+（-n）•b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$+（-n）•2^n-1=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+（-n）•2^n-1；運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項(xiàng)相消求和以及錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=1，$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=2．
可得{a_n}為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
可得a_n=2+n-1=n+1；
可得{b_n}為首項(xiàng)為1，公差為2的等比數(shù)列，
可得b_n=2^n-1；
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+（-n）•b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$+（-n）•2^n-1
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+（-n）•2^n-1；
則{c_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+[（-1）•2⁰+（-2）•2¹+…+（-n）•2^n-1]，
令T_n=（-1）•2⁰+（-2）•2¹+…+（-n）•2^n-1，
2T_n=（-1）•2¹+（-2）•2²+…+（-n）•2ⁿ，
兩式相減可得-T_n=-1+（-1）（2¹+…+2^n-1）-（-n）•2ⁿ
=-1-$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（-n）•2ⁿ，
可得T_n=（1-n）•2ⁿ-1，
則{c_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$+（1-n）•2ⁿ-1=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$+（1-n）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項(xiàng)相消求和以及錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．