Question

19．某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)搏物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)總是中隨機(jī)抽取3個(gè)總題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正面回答每道題目的概率均為$\frac{2}{3}$，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相獨(dú)立，互不影響的．
（1）求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率；
（2）請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？

Answer 1

分析 （1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率．
（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．

解答 解：（1）由題意可知，所求概率$P=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}×C_3^1{（{\frac{2}{3}}）^1}{（{1-\frac{2}{3}}）^2}+\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}×{（{1-\frac{2}{2}}）^3}=\frac{1}{15}$．
（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.$P（{X=1}）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，$P（X=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，$P（{X=3}）=\frac{C_4^3C_2^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$．
則X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴$E（X）=1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$$D（X）={（{1-2}）^2}×\frac{1}{5}+{（{2-2}）^2}×\frac{3}{5}+{（{3-2}）^2}×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$．
設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3.$P（{Y=0}）=\frac{1}{27}$，$P（{Y=1}）=C_3^1×\frac{2}{3}×{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{2}{9}$，$P（{Y=2}）=C_3^2×{（{\frac{2}{3}}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，$P（{Y=3}）={（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{8}{27}$
則Y的分布列為：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴$E（Y）=0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}=2$．（或∵$Y\～B（{3，\frac{2}{3}}）$，∴$E（Y）=3×\frac{2}{3}=2$）$D（Y）={（{0-2}）^2}×\frac{1}{27}+{（{1-2}）^2}×\frac{2}{9}+{（{2-2}）^2}×\frac{4}{9}+{（{3-2}）^2}×\frac{8}{27}=\frac{2}{3}$．（$D（Y）=3×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$）
由E（X）=D（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率以及分布列期望的求法，考查計(jì)算能力．