Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為$ρ=\sqrt{6}$．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C₁的參數(shù)方程；
（2）若將曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出直線l的普通方程和曲線C₁的參數(shù)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)$P（{cosθ，\sqrt{3}sinθ}）$，點(diǎn)P到直線l的距離$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）-2}|}}{2}$，即可求點(diǎn)P到直線l距離的最小值．

解答 解：（1）直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y+2\sqrt{3}=0$，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{6}cosθ\\ y=\sqrt{6}sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)）．
（2）由題意知，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)），
可設(shè)點(diǎn)$P（{cosθ，\sqrt{3}sinθ}）$，
故點(diǎn)P到直線l的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）-2}|}}{2}$，
所以${d_{min}}=\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{2}$，即點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．