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17.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,cosCsinC=cosA+cosBsinA+sinB
(1)求∠C的大��;
(2)若c=2,求△ABC的面積的最大值.

分析 (1)由cosCsinC=cosA+cosBsinA+sinB,可得sin(A-C)=sin(C-B),A-C=C-B,或A-C=π-(C-B)(舍去).即可得出.
(2)由c=2,可得cosC=a2+242ab=12,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)∵cosCsinC=cosA+cosBsinA+sinB,
∴cosCsinA+cosCsinB=sinCcosA+sinCcosB,cosCsinA-sinCcosA=sinCcosB-cosCsinB,
得sin(A-C)=sin(C-B),∴A-C=C-B,或A-C=π-(C-B)(舍去).
∴2C=A+B=π-C,解得C=π3
(2)∵c=2,∴cosC=a2+242ab=12,
∴a2+b2-4=ab≥2ab-4,∴ab≤4,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2取等號(hào)).
∴S△ABC=12absinC≤12×4×32=3
則△ABC的面積的最大值為3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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