Question

20．已知集合M={（x，y）|2x+y-4=0}，N={（x，y）|x²+y²+2mx+2ny=0}，若M∩N≠∅，則m²+n²的最小值（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． （6-2$\sqrt{5}$）
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由M∩N≠∅，可得直線2x+y-4=0與圓x²+y²+2mx+2ny=0有交點(diǎn)，即圓心（-m，-n）到直線2x+y-4=0的距離不大于半徑，建立不等式，三角換元，即可求出m²+n²的最小值．

解答 解：由題意，可知集合M={（x，y）|2x+y-4=0}，N={（x，y）|x²+y²+2mx+2ny=0}，且M∩N≠∅，
∴表示直線2x+y-4=0與圓x²+y²+2mx+2ny=0有交點(diǎn)，即圓心（-m，-n）到直線2x+y-4=0的距離不大于半徑，
∴d=$\frac{|2m+n+4|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$≤$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
設(shè)m²+n²=r²，m=rcosα，n=rsinα，
∴-$\sqrt{5}$r≤2rcosα+rsinα+4≤$\sqrt{5}$r，
∴r≥$\frac{4}{\sqrt{5}-2cosα-sinα}$
∴r≥$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴r²≥$\frac{4}{5}$，
∴m²+n²的最小值為$\frac{4}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的交集的定義及運(yùn)算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．