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18.已知函數(shù)f(x)=cos2(x-\frac{π}{6})-cos2x,x∈R
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求y=f(x)在區(qū)間[{-\frac{π}{3},\frac{π}{4}}]上的最大值和最小值.

分析 (Ⅰ)利用三角恒等變換化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),求出f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求出x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{4}]f(x)的值域,再求f(x)的最大、最小值.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos2(x-\frac{π}{6})-cos2x
=\frac{1+cos(2x-\frac{π}{3})}{2}-\frac{1+cos2x}{2}
=\frac{1}{2}(cos2xcos\frac{π}{3}+sin2xsin\frac{π}{3})-\frac{1}{2}cos2x
=\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x
=\frac{1}{2}sin(2x-\frac{π}{6}),x∈R;
∴f(x)的最小正周期為T=\frac{2π}{ω}=π;
(Ⅱ)x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{4}]時,2x∈[-\frac{2π}{3}\frac{π}{2}],2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{5π}{6}\frac{π}{3}];
∴sin(2x-\frac{π}{6})∈[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}],
\frac{1}{2}sin(2x-\frac{π}{6})∈[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{4}];
∴y=f(x)在區(qū)間[{-\frac{π}{3},\frac{π}{4}}]上的值域是[-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{4}];
且x=\frac{π}{4}時f(x)取得最大值為\frac{\sqrt{3}}{4}
令2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{2},得x=-\frac{π}{6},此時f(x)取得最小值為-\frac{1}{2}

點評 本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用問題,是中檔題.

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分組頻數(shù)頻率
[10,15)100.25
[15,20)24n
[20,25)mp
[25,30]20.05
合計M1
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