分析 (Ⅰ)利用三角恒等變換化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),求出f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求出x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]f(x)的值域,再求f(x)的最大、最小值.
解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos2(x-$\frac{π}{6}$)-cos2x
=$\frac{1+cos(2x-\frac{π}{3})}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$(cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$)-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin(2x-$\frac{π}{6}$),x∈R;
∴f(x)的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π;
(Ⅱ)x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]時,2x∈[-$\frac{2π}{3}$,$\frac{π}{2}$],2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$,$\frac{π}{3}$];
∴sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$],
∴$\frac{1}{2}$sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{4}$];
∴y=f(x)在區(qū)間$[{-\frac{π}{3},\frac{π}{4}}]$上的值域是[-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{4}$];
且x=$\frac{π}{4}$時f(x)取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$;
令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$,得x=-$\frac{π}{6}$,此時f(x)取得最小值為-$\frac{1}{2}$.
點評 本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題,是中檔題.
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A. | $\frac{15}{8}$ | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | $\frac{15}{4}$ | D. | 0 |
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分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
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A. | $\frac{4}{5}$ | B. | $-\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{16}{25}$ | D. | $-\frac{16}{25}$ |
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A. | {x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈z} | B. | $\left\{{x\left|{2kπ+\frac{π}{4}≤x≤2kπ+\frac{3π}{4},k∈z}\right.}\right\}$ | ||
C. | {x|kπ≤x≤kπ+π,k∈z} | D. | $\left\{{x\left|{kπ+\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{3π}{4},k∈z}\right.}\right\}$ |
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A. | 90° | B. | 120° | C. | 135° | D. | 150° |
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A. | -3 | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | 3 |
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