Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，最后根據(jù)點斜式求切線方程（2）先化簡不等式，并參變分離得，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，最后利用羅比達法則求最小值

試題解析：（1）根據(jù)題意可得， ，

，所以，即，

所以在點處的切線方程為，即．

（2）根據(jù)題意可得， 在恒成立，

令， ，

所以，

當時， ，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增，

所以，

所以不等式成立，即符合題意；

當時，令，解得，令，解得，

當時， ，

所以在上，在上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，令，

恒成立，又，

所以，

所以存在，

所以不符合題意；

②當時，

在上恒成立，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減，

所以

顯然不符合題意；

綜上所述， 的取值范圍為