Question

17．已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a（a＜0），虛部為1，模長(zhǎng)為2，$\overline{z}$是z的共軛復(fù)數(shù)，則$\frac{1+\sqrt{3}i}{\overline{z}}$的值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
• B． -$\sqrt{3}$-i
• C． -$\sqrt{3}$+i
• D． -$\frac{\sqrt{3}+i}{2}$

Answer 1

分析 由復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a（a＜0），虛部為1，模長(zhǎng)為2，可求出a的值，得到復(fù)數(shù)z，再求出$\overline{z}$，然后代入$\frac{1+\sqrt{3}i}{\overline{z}}$，由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算可得答案．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a（a＜0），虛部為1，
則復(fù)數(shù)z=a+i．
又模長(zhǎng)為2，∴$\sqrt{{a}^{2}+1}=2$，解得a=$-\sqrt{3}$．
∴z=$-\sqrt{3}+i$，$\overline{z}=-\sqrt{3}-i$．
則$\frac{1+\sqrt{3}i}{\overline{z}}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{-\sqrt{3}-i}=\frac{（1+\sqrt{3}i）（-\sqrt{3}+i）}{（-\sqrt{3}-i）（-\sqrt{3}+i）}$=$\frac{-2\sqrt{3}-2i}{4}=-\frac{\sqrt{3}+i}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．