Question

14．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交AB的延長線于點C，過點C作AC的垂線，交AD的延長線于點E．
（Ⅰ）求證：△CDE為等腰三角形；
（Ⅱ）若AD=2，$\frac{BC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接線段DB，利用垂直關(guān)系證明∠CDE=∠AEC，即可得出△CDE為等腰三角形；
（Ⅱ）利用相似三角形求出圓O的直徑，即可求出圓的面積．

解答 解：（Ⅰ）連接線段DB，…（1分）
因為DC為⊙O的切線，
所以∠DAB=∠BDC，…（3分）
又因為AB為⊙O的直徑，BD⊥AE，
所以∠CDE+∠CDB=∠DAB+∠AEC=90°，…（4分）
所以∠CDE=∠AEC，
從而△CDE為等腰三角形．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD=CE，
因為DC為⊙O的切線，
所以CD²=CB•CA，…（7分）
所以CE²=CB•CA，即$\frac{CB}{CE}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$．…（8分）
又Rt△ABD∽Rt△AEC，故$\frac{CE}{CA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$．…（9分）
因為AD=2，所以BD=1，AB=$\sqrt{5}$，S=π•${（\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}$=$\frac{5π}{4}$，
所以⊙O的面積為$\frac{5π}{4}$．…（10分）

點評 本題考查了圓的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了推理與證明的應(yīng)用問題，是綜合性題目．