Question

3．如圖，從圓O外一點P引圓的切線PC及割線PAB，C為切點，OD⊥BC，垂足為D．
（1）求證：AC•CP=2AP•BD；
（2）若AP，AB，BC依次成公差為1的等差數(shù)列，且$PC=\sqrt{21}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）證明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；
（2）設(shè)AP=x（x＞0），則AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC²，求出x，利用（1）即可求解AC的長．

解答 （1）證明：∵PC為圓O的切線，∴∠PCA=∠CBP，
又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AP}{PC}$，即AP•BC=AC•CP．
又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（5分）
（2）解：設(shè)AP=x（x＞0），則AB=x+1，BC=x+2，
由切割定理可得PA•PB=PC²，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，
由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴$3×5=\sqrt{21}AC$，∴$AC=\frac{{5\sqrt{21}}}{7}$…（10分）

點評 本題考查三角形相似，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，切割線定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．