3.如圖,從圓O外一點P引圓的切線PC及割線PAB,C為切點,OD⊥BC,垂足為D.
(1)求證:AC•CP=2AP•BD;
(2)若AP,AB,BC依次成公差為1的等差數(shù)列,且$PC=\sqrt{21}$,求AC的長.

分析 (1)證明△CAP~△BCP,然后推出AC•CP=2AP•BD;
(2)設(shè)AP=x(x>0),則AB=x+1,BC=x+2,由切割定理可得PA•PB=PC2,求出x,利用(1)即可求解AC的長.

解答 (1)證明:∵PC為圓O的切線,∴∠PCA=∠CBP,
又∠CPA=∠CPB,故△CAP~△BCP,
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AP}{PC}$,即AP•BC=AC•CP.
又BC=2BD,∴AC•CP=2AP•BD…(5分)
(2)解:設(shè)AP=x(x>0),則AB=x+1,BC=x+2,
由切割定理可得PA•PB=PC2,∴x(2x+1)=21,∵x>0,∴x=3,∴BC=5,
由(1)知,AP•BC=AC•CP,∴$3×5=\sqrt{21}AC$,∴$AC=\frac{{5\sqrt{21}}}{7}$…(10分)

點評 本題考查三角形相似,等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,切割線定理的應(yīng)用,考查邏輯推理能力以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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C.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
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(2)有兩個實數(shù)根,且一個比2大,一個比2。

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