Question

13．已知點A，B的坐標為（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是-2．
（1）求點M的軌跡方程E；
（2）曲線E上有兩個不同的動點P，Q，且AP⊥PQ，求點Q的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y），利用直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為-2，建立方程，即可求得點M的軌跡C的方程；
（2）設點$P（x，1-{x^2}），Q（{x_0}，1-{x_0}^2）$，由題意AP⊥PQ，通過向量的數(shù)量積為0，列出方程，然后求解點Q的橫坐標的取值范圍．

解答 解：（1）設M（x，y），則kAM=$\frac{y}{x+1}$，kBM=$\frac{y}{x-1}$
∵直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為-2，$\frac{y}{x+1}$-$\frac{y}{x-1}$=-2
∴y=1-x²（y≠0）（或x≠±1）．
（2）設點$P（x，1-{x^2}），Q（{x_0}，1-{x_0}^2）$，知$\overrightarrow{AP}=（x+1，1-{x^2}），\overrightarrow{PQ}=（{x_0}-x，{x^2}-{x_0}^2）$，
由題意可知1+（x-1）（x+x₀）=0從而${x_0}=-\frac{1}{x-1}-x$，
當x＞1時，${x_0}=-（\frac{1}{x-1}+x-1）-1≤-3$當x＜1時，${x_0}=-（\frac{1}{x-1}+x-1）-1≥1$，
由于x≠±1，且x₀≠±1，故x≠-1有${x_0}≠\frac{3}{2}$．
所以點Q的橫坐標的取值范圍是：$（-∞，-3]∪（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線的定義，考查直線與圓的位置關系，正確運用拋物線的定義是關鍵．