Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）．若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求f（x）遞增區(qū)間；
（2）△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）根據(jù)正弦定理得到B的值，求出f（A）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出f（A）的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+{cos^2}\frac{x}{4}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{{1+cos\frac{x}{2}}}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，…（3分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$得：$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$，
∴f（x）的遞增區(qū)間為$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$…（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴$cosB=\frac{1}{2}$…（8分）
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$，∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，$sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$，
又∵$f（x）=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，∴$f（A）=sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是$（1，\frac{3}{2}）$…（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦定理以及函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．