Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos A=$\frac{3}{5}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=6．
（1）求△ABC的面積；
（2）若b+c=7，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出sin A=$\frac{4}{5}$，再由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos A=$\frac{3}{5}$bc=6，求出bc=10，由此能求出△ABC的面積．
（2）由bc=10，b+c=7，利用余弦定理能求出a的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos A=$\frac{3}{5}$，
∴A∈（0，π），sin A=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos A=$\frac{3}{5}$bc=6，
∴bc=10，
∴△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{4}{5}$=4．
（2）由（1）知bc=10，
b+c=7，
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{（b+c）^{2}-2bc-2bccosA}$=$\sqrt{49-20-20×\frac{3}{5}}$=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的面積的求法，考查三角形的邊長的求法，考查三角形面積、正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、向量的數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．