Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），|$\overrightarrow$|=2．
（1）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$和|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求向量$\overrightarrow$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的定義計(jì)算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，計(jì)算|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²即可得出|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|；
（2）設(shè)$\overrightarrow$=（m，n），列出方程組解出m，n即可．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+3}$=2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=2×2×cos$\frac{π}{3}$=2．
∵（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$=4-8+16=12，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)$\overrightarrow$=（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=4}\\{m+\sqrt{3}n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\sqrt{3}}\\{n=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow$=（-$\sqrt{3}$，1）或$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．