Question

15．S_n是數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，對(duì)?n∈N^*，S_n+a_n=2n．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）歸納數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）把n=1，2，3，4依次代入條件式子計(jì)算；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果猜想通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1猜想成立，假設(shè)n=k猜想成立，推導(dǎo)n=k+1猜想成立即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁+a₁=2，∴a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂+a₂=4，∴a₂=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₃=6，∴a₃=$\frac{7}{4}$，
當(dāng)n=4時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄+a₄=8，∴a₄=$\frac{15}{8}$．
（2）猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
顯然n=1時(shí)，$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$=1，猜想成立，
假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，猜想成立，即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，
∵S_k+a_k=2k，S_k+1+a_k+1=2k+2，
兩式相減得：2a_k+1-a_k=2，
a_k+1=$\frac{{a}_{k}+2}{2}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
綜上，對(duì)于任意n∈N⁺，都有a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．