Question

3．已知等邊三角形的邊長為a，P是△ABC所在平面上的一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最小值．

Answer 1

分析 本題可以先建立坐標系，利用兩點距離公式將PA²+PB²+PC²轉化為兩二次函數式的和，再分別求它們的最值，得到本題結論．

解答 解：建立平面直角坐標系，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），P（x，y），
則有：PA²+PB²+PC²=（x-x₁）²+（y-y₁）²+（x-x₂）²+（y-y₂）²+（x-x₃）²+（y-y₃）²
=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$+3y²-2（y₁+y₂+y₃）y+${{y}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$+${{y}_{3}}^{2}$，
記f（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$，
當且僅當x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}}{3}$時，f（x）取最小值；
記g（y）=3y²-2（y₁+y₂+y₃）y+${{y}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$+${{y}_{3}}^{2}$，
當且僅當y=$\frac{{y}_{1}+{{y}_{2}+y}_{3}}{3}$時，g（y）取最小值．
∴當且僅當x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}}{3}$，y=$\frac{{y}_{1}+{{y}_{2}+y}_{3}}{3}$時，PA²+PB²+PC²取最小值，
此時，P為正△ABC的重心．
∵正△ABC的邊長為a，
∴PA²+PB²+PC²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²=a²，
∴PA²+PB²+PC²≥a²，此時，P為正△ABC的重心，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最小值是a²．

點評 本題考查了兩點間距離公式，還考查了解析法研究問題的思想和方法，有一定的思維難度，屬于中檔題．