Question

18．已知點(diǎn)P（2，-1）．
（1）若一條直線經(jīng)過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線的距離為2，求該直線的一般式方程；
（2）求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線的一般式方程，并求出最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，直接寫出直線方程；當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．由點(diǎn)到直線的距離公式求得k值，則直線方程可求；
（2）由題意可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，求出OP所在直線的斜率，進(jìn)一步得到直線l的斜率，得到直線l的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式得最大距離．

解答 解：（1）①當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，l的方程為x=2； 
②當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
由點(diǎn)到直線距離公式得$\frac{{|{-2k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，得l：3x-4y-10=0．
故所求l的方程為：x=2  或  3x-4y-10=0；
（2）由題意可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，
由l⊥OP，得k_lk_OP=-1，k_l=$-\frac{1}{{{k_{op}}}}=2$，
由直線方程的點(diǎn)斜式得y+1=2（x-2），即2x-y-5=0．
即直線2x-y-5=0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為 $\frac{{|{-5}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬中檔題．