Question

9．已知定義在R上函數(shù)f（x）是可導的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，則不等式f（x）-1＜e^1-x的解集是（　�。�（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （0，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)F（x）=e^x（f（x）-1），對其求導可得F'（x），分析可得函數(shù)F（x）為減函數(shù)且F（1）=e，進而可以將不等式f（x）-1＜e^1-x轉(zhuǎn)化為F（x）＜F（1），由F（x）的單調(diào)性分析即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)F（x）=e^x（f（x）-1），則F'（x）=e^x[f（x）+f'（x）-1]，
因為e^x＞0，由已知可得，F(xiàn)'（x）＜0，即函數(shù)F'（x）是單調(diào)減函數(shù)，F(xiàn)（1）=e，
故f（x）-1＜e^1-x，即F（x）＜F（1），
則有x＞1；
即不等式f（x）-1＜e^1-x的解集是（1，+∞）；
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^x（f（x）-1）．