Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別為CC₁、B₁C₁、DD₁的中點，O為BF與B₁E的交點，
（1）求直線A₁B與平面A₁C₁CA所成角的大小，
（2）證明：BF⊥面A₁B₁EG．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)A₁O，由正方體性質(zhì)知AA₁⊥面ABCD，從而A₁A⊥BD，再由AC⊥BD，得∠BA₁O直線A₁B與平面A₁C₁CA所成角，由此能求出直線A₁B與平面A₁C₁CA所成角的大�。�
（2）由已知條件得△BB₁F≌△B₁C₁E，從而∠C₁EB₁=BFB₁，由此結(jié)合已知條件能證明BF⊥面A₁B₁EG．

解答： （1）解：連結(jié)BD交AC于點O，
連結(jié)A₁O，由正方體性質(zhì)知AA₁⊥面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD，
在正方體ABCD中，AC⊥BD，
又AC∩AA₁=A，AC?平面ACC₁A₁，
即∠BA₁O直線A₁B與平面A₁C₁CA所成角，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則A1B=

2

，OB=

2

2

，∴∠BA₁O=30°．
∴直線A₁B與平面A₁C₁CA所成角的大小為30°．
（2）證明：∵BB₁=B₁C₁，B₁F=C₁E，BF=B₁E，
∴△BB₁F≌△B₁C₁E，
從而∠C₁EB₁=BFB₁，
在Rt△A₁C₁E中，∠C₁EB₁+∠C₁B₁E=90°，
∴∠BFB₁+∠C₁B₁E=90°，從而∠FOB₁=90°，
∴BF⊥B₁E，
∵B₁E∩GE=E，
∴BF⊥面A₁B₁EG．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．