Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos²2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2xcos2x+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos²2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2xcos2x+1
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos4x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin4x+1
=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，
則4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
那么sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為1，此時(shí)x=$\frac{π}{4}$；
當(dāng)4x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{7}{4}$，此時(shí)x=$\frac{π}{12}$．
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{7}{4}$，最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．