Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點(diǎn)（2，0）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'．直線AB'與x軸的交點(diǎn)Q是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)（2，0）在橢圓C上，可得a=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B'（x₂，-y₂），Q（n，0）．設(shè)直線AB：y=k（x-1）（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．直線AB'的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，令y=0，解得n，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)（2，0）在橢圓C上，所以a=2．
又因?yàn)?e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$．
所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．             …（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B'（x₂，-y₂），Q（n，0）．
設(shè)直線AB：y=k（x-1）（k≠0）．…（6分）
聯(lián)立y=k（x-1）和x²+4y²-4=0，得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
直線AB'的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，…（9分）
令y=0，解得$n=-\frac{{{y_1}（{x_1}-{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}$…（11分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以$n=\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-2}}=4$．…（13分）
所以直線AB'與x軸的交點(diǎn)Q是定點(diǎn)，坐標(biāo)為Q（4，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．