Question

15．已知函數(shù)f（x）=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}+4x+3}}$-t，g（x）=x+1+$\frac{4}{x+1}$+t，若?x₁∈R，?x₂∈（-∞，-1），使得f（x₁）≤g（x₂），則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （0，2]
• C． （-∞，-2]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由基本不等式可判斷出x+1+$\frac{4}{x+1}$≤-4，從而可得g（x₂）_max=-4+t，而配方法可得f（x）=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}+4x+3}}$-t≤2-t，從而化恒成立問題為最值問題．

解答 解：當(dāng)x∈（-∞，-1）時，x+1∈（-∞，0），
x+1+$\frac{4}{x+1}$
=-（-（x+1）+（-$\frac{4}{x+1}$））
≤-4，
（當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{4}{x+1}$，即x=-3時，等號成立），
故g（x₂）_max=-4+t，
f（x）=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}+4x+3}}$-t
=$（\frac{1}{2}）^{（x+2）^{2}-1}$-t≤2-t，
∵?x₁∈R，?x₂∈（-∞，-1），使得f（x₁）≤g（x₂），
∴2-t≤-4+t，
解得，t≥3，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應(yīng)用．