Question

17．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠c}，則$\frac{{a}^{2}+^{2}+1}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范圍為（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出a＞0，對應(yīng)二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=-$\frac{1}{a}$=c，且△=4-4ab=0，化$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+1}{a+c}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$，利用基本不等式求出最值，即可求出結(jié)果．

解答 解：根據(jù)關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠c}，
可得a＞0，對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=-$\frac{1}{a}$=c，且△=4-4ab=0，
∴ac=-1，ab=1，
∴c=-$\frac{1}{a}$，b=$\frac{1}{a}$，
∴c=-b；
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+1}{a+c}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+3}{a-b}$=（a-b）+$\frac{3}{a-b}$；
當a-b＞0時，由基本不等式求得（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{3}$，
當a-b＜0時，由基本不等式求得-（a-b）-$\frac{3}{a-b}$≥2$\sqrt{3}$，
即（a-b）+$\frac{3}{a-b}$≤-2$\sqrt{3}$
故$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+1}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范圍為：（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞），
故答案為：（-∞，-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．