Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求a的值；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，試推斷方程|f（x）|=是否有實(shí)數(shù)解．

Answer 1

【答案】分析：（1）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求其極大值，若是唯一極值點(diǎn)，則極大值即為最大值．
（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對a進(jìn)行分類討論并判斷其單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應(yīng)的最大值．
（3）根據(jù)（1）可求出|f（x）|的值域，通過求導(dǎo)可求出函數(shù)g（x）═的值域，通過比較上述兩個(gè)函數(shù)的值域，就可判斷出方程|f（x）|=是否有實(shí)數(shù)解．
解答：解：（1）易知f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+，令f^′（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為-1．
（2）∵f′（x）=a+，x∈（0，e]，∈．
①若a≥，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合題意．
②若a＜，則由f′（x）＞0＞0，即0＜x＜
由f^′（x）＜0＜0，即＜x≤e．
從而f（x）在上增函數(shù)，在為減函數(shù)
∴f（x）_max=f=-1+ln
令-1+ln=-3，則ln=-2
∴=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜，∴a=-e²為所求．
（3）由（1）知當(dāng)a=-1時(shí)f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1．
又令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=e，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）  在（0，e）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（e）=＜1，∴g（x）＜1，
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．
∴方程|f（x）|=沒有實(shí)數(shù)解．
點(diǎn)評：本題先通過對函數(shù)求導(dǎo)，求其極值，進(jìn)而在求其最值及值域，用到分類討論的思想方法．