Question

10．已知△ABC的三內角A，B，C，所對三邊分別為a，b，c，A＜$\frac{π}{2}$且sin（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的面積s=24，b=10，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數的基本關系求得cos（A-$\frac{π}{4}$），再利用兩角和的正弦公式求得sinA=sin[（A-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]的值．
（2）根據s=$\frac{1}{2}$bc•sinA=24，求得c的值，再利用余弦定理求得a=$\sqrt{^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$ 的值．

解答 解：（1）△ABC的三內角A，B，C，所對三邊分別為a，b，c，A＜$\frac{π}{2}$且sin（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴A-$\frac{π}{4}$為銳角，故cos（A-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（A-\frac{π}{4}）}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴sinA=sin[（A-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（A-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（A-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}•\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$．
（2）若△ABC的面積s=24，b=10，∴s=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}•10•c$•$\frac{4}{5}$=24，∴c=6，
∵cosA=$\sqrt{1{-sin}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，∴a=$\sqrt{^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$=$\sqrt{100+36-120•\frac{3}{5}}$=$\sqrt{64}$=8．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式的應用，余弦定理，屬于中檔題．