Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，且.

（1）求證:；

（2）求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為：，代入拋物線,運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件，再由斜率數(shù)量積垂直的性質(zhì)，即可證明；

（2）由直線，令，可得的橫坐標(biāo)；

（3）求出拋物線上的點(diǎn)的切線的斜率和方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式可得答案.

證明：（1）設(shè)直線的方程為：，代入拋物線，

可得：，由，，

可得，，，

由，可得，

可得,即：；

（2）由直線，令，可得，

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；

（3）由，兩邊對求導(dǎo)，可得，即，

可得處切線的斜率為，切線方程為：，

由，，可得 ①

同理可得：處切線方程為 ②

由①②可得：，

，

故，

可得：.