Question

國(guó)家邊防戰(zhàn)士飼養(yǎng)優(yōu)種信鴿擔(dān)負(fù)書(shū)信傳輸解決邊防信息傳輸不方便問(wèn)題，在雅安震災(zāi)救援信息傳輸任務(wù)中，已知飛回的6只信鴿中，有一只被禽流感病毒感染，需要通過(guò)化驗(yàn)鴿血來(lái)確定患鴿，以免傳染造成更大損失，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性即為患鴿，呈陰性的即為健康鴿子，下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患鴿為止；
方案乙：將鴿子分為兩組，每組3只，并將它們的血液混合在一起化驗(yàn)，若結(jié)果是陽(yáng)性，則表明患鴿在這3只之中，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定患鴿為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外一組信鴿中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)．
（1）求依方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率；
（2）首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)10元，第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)8元，第三次及其以后每次都是6元，列出甲方案所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列，并估計(jì)用甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)多少？
（3）試比較兩種方案，估計(jì)哪種方案有利于盡快查找到患鴿．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）依方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次，有兩種可能：①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中；②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌�三只中恰好一次�?yàn)中，由此能求出依方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率．
（2）由題意知甲方案所需化驗(yàn)費(fèi)用X=10，8，6，由此能求出X的分布列和EX，從而求出用甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)7元．
（3）設(shè)甲方案的試驗(yàn)的次數(shù)為ξ，ξ=1，2，3，4，5，Eξ=

10

3

；設(shè)乙方案的試驗(yàn)次數(shù)為η，η=2，3，Eη=

17

6

，從而乙方案有利于盡快查找到患鴿．

解答： 解：（1）依方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次，有兩種可能：
①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：

C 2 5 A 3 3

A 3 6

•

1

A 3 3

=

1

12

．
②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌�三只中恰好一次�?yàn)中概率為：

A 3 5

A 3 6

•

1

A 3 3

=

1

12

．
∴依方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率為

1

12

+

1

12

=

1

6

．
（2）由題意知甲方案所需化驗(yàn)費(fèi)用X=10，8，6，
P（X=10）=

1

6

，P（X=8）=

1

6

，P（X=6）=

2

3

，
∴X的分布列為：

X	10	8	6
P	1 6	1 6	2 3

EX=10×

1

6

+8×

1

6

+6×

2

3

=7．
∴用甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)7元．
（3）設(shè)甲方案的試驗(yàn)的次數(shù)為ξ，
ξ=1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=

1

6

，P（ξ=5）=

2

6

，
Eξ=（1+2+3+4）×

1

6

+5×

2

6

=

10

3

，
設(shè)乙方案的試驗(yàn)次數(shù)為η，η=2，3，
P（η=2）=

1

6

，P（η=3）=

5

6

，
Eη=2×

1

6

+3×

5

6

=

17

6

，
Eη＜Eξ，∴乙方案有利于盡快查找到患鴿．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．