Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=1在x∈[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的恒等變換，變形成正弦型函數(shù)進(jìn)一步利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在固定區(qū)間內(nèi)的增減區(qū)間．
（Ⅱ）把求方程的解得問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的交點(diǎn)問題，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（I）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
2sin（2x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤+2kπ（k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
由于x∈[0，π]
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]．
（Ⅱ）依題意：由2sin（2x+

π

6

）+1=t+1
解得：t=2sin（2x+

π

6

）
設(shè)函數(shù)y₁=t與y2=2sin(2x+

π

6

)
由于在同一坐標(biāo)系內(nèi)兩函數(shù)在x∈[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個(gè)不相等的交點(diǎn)．
因?yàn)椋?span id="nqp49xe" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]
所以：2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
根據(jù)函數(shù)的圖象：當(dāng)2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，t∈[1，2]
當(dāng)2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]時(shí)，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，t∈[-1，2]
所以：1≤t＜2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，在同一坐標(biāo)系內(nèi)的利用兩函數(shù)的交點(diǎn)問題求參數(shù)的取值范圍問題．