Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足S_n+2+S_n=2S_n+1+1（n∈N^*）；數列{b_n}中，b₁=a₁，{b_n+2}是以4為公比的等比數列．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2a_n（λ為非零整數，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n+2+S_n=2S_n+1+1得S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n）=1，即a_n+2-a_n+1=1（n≥1），再驗證a₂-a₁=1，從而得到數列{a_n}是等差數列，并求出a₁和公差d，由等差數列、等比數列的通項公式求出a_n，b_n；
（2）由（1）和題意求出c_n，代入c_n+1-c_n化簡并將不等式轉化為：（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，再對n分偶數、奇數討論，分別分離出λ，再由指數函數的單調性和n的取值，求出對應的最值，從而求出c的范圍．

解答： 解：（1）由S_n+2+S_n=2S_n+1+1得，S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n）=1，
所以a_n+2-a_n+1=1（n≥1）（2分）
又a₂-a₁=1，所以數列{a_n}是以a₁=2為首項，1為公差的等差數列．
所以a_n=n+1．（4分）
因為{b_n+2}是以4為首項，4為公比的等比數列．
所以b_n=4ⁿ-2．（6分）
（2）因為a_n=n+1，b_n=4ⁿ-2，所以c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹．
要使c_n+1＞c_n恒成立，需c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
即3•4ⁿ-3λ（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立．所以（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．（9分）
①當n為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，
當且僅當n=1時，2^n-1有最小值1，所以λ＜1；                   （10分）
②當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，
當且僅當n=2時，-2^n-1有最大值-2．所以λ＞-2，（11分）
結合①②可知-2＜λ＜1．
又λ為非零整數，則λ=-1．
故存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．（12分）

點評：本題考查等比、等差數列的通項公式，以及作差法解決數列不等式問題，恒成立問題轉化為求函數的最值問題．