已知橢圓M的中心為坐標原點，且焦點在x軸上，若M的一個頂點是（2，0），M的離心率e=
1
2
，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線l，交M于A，B兩點．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且（
NA
+
NB
）⊥
AB
，求實數(shù)t的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓的離心率以及頂點坐標，即可求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，設A（x1，y1），B（x2，y2），設l：x=my+1（m∈R，m≠0），聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，利用韋達定理，結(jié)合（
NA
+
NB
）⊥
AB
，數(shù)量積為0，求實數(shù)t的表達式，然后求解取值范圍．
解答： 解：（1）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．a(chǎn)=2，
c
a
=
1
2
，所以c=1，b2=a2-c2=3，
所以橢圓M的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），設l：x=my+1（m∈R，m≠0），
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
⇒（3m2+4）y2+6my-9=0．
由韋達定理得y1+y2=-
6m
3m2+4
．①
（
NA
+
NB
）⊥
AB
⇒|NA|=|NB|⇒（x1-t）2+y12=（x2-t）2+y22⇒（x1-x2）（x1+x2-2t）+（y12-y22）=0，
將x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得，
（y1-y2）[（m2+1）（y1+y2）+m（2-2t）]=0．
由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2-2t）=0，
將①代入得t=
1
3m2+4
，
所以實數(shù)t∈（0，
1
4
）．
點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系，考查分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1（n∈N*）；數(shù)列{bn}中，b1=a1，{bn+2}是以4為公比的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設cn=bn+2+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知命題p：函數(shù)f（x）=x2+ax-2 在[-1，1]內(nèi)有且僅有一個零點，命題q：x2+3（a+1）x+2≤0在區(qū)間[
1
2
，
3
2
]內(nèi) 恒成立，若命題“p且g”是假命題，實數(shù)q的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a．
（1）其求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設函數(shù)k（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)k（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的離心率為
2
2
，橢圓C的右焦點F2和拋物線y2=4
2
x的焦點重合，橢圓C與y軸的一個交點為N，且F1是橢圓C的左焦點．
（1）求證：△NF1F2是等腰直角三角形；
（2）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足
|
PA
|
|
AQ
|
=
|
PB
|
|
QB
|
，求點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）對任意的實數(shù)m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當x＞0時，有f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若f（6）=7，且關于x的不等式f（ax-2）+f（x-x2）＜3對任意的x∈[-1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（
3
，cosωx），
b
=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函數(shù)f（x）=
a
•
b
，若將函數(shù)f（x）的圖象的其中一個對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
個單位．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(
α
2
)=
1
2
，(
π
6
＜α＜
2
3
π)，求sinα的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f （x）=ax-ln x（a∈R）．
（Ⅰ）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，求f （x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=e-x-
1
2
（x＞0）與g（x）=ln（x+a）的圖象有交點，則a的取值范圍是（　�。�
A、(-∞，
e
)
B、(-∞，
1
e
)
C、(-
1
e
，
e
)
D、(-
e
，
1
e
)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案