Question

已知橢圓C的離心率為

2

2

，橢圓C的右焦點F₂和拋物線y²=4

2

x的焦點重合，橢圓C與y軸的一個交點為N，且F₁是橢圓C的左焦點．
（1）求證：△NF₁F₂是等腰直角三角形；
（2）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意解得a²=4，b²=2，所求橢圓方程為 

x2

4

+

y2

2

=1．由此能證明△NF₁F₂是等腰直角三角形．
（Ⅱ）設點Q、A、B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由題可設λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1．由此利用A，P，B，Q四點共線，結合已知條件能推導出點Q的軌跡是直線在橢圓內的部分，方程為2x+y-2=0．

解答： （Ⅰ）證明：由題意解得a²=4，b²=2，
所求橢圓方程為 

x2

4

+

y2

2

=1．
∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
∵橢圓C與y軸的一個交點為N，
∴△NF₁F₂是等腰直角三角形．（3分）
（Ⅱ）解：設點Q、A、B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題可設λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1．
又A，P，B，Q四點共線，從而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．
于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

，（5分）
從而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=4x，…（1）

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=y，…（2）
又點A、B在橢圓C上，即

x

2 1

+2

y

2 1

=4，…(3)，

x

2 2

+2

y

2 2

=4，…(4)
（1）+（2）×2并結合（3），（4）得4x+2y=4，
即點Q的軌跡是直線在橢圓內的部分，方程為2x+y-2=0．（10分）

點評：本題考查三角形為等腰直角三角形的證明，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．