Question

4．卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，設(shè)焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，|PF₁|•|PF₂|=a²（a是定長），得出卡西尼卵形線的相關(guān)結(jié)論：
①當(dāng)a=0，c=1時(shí)，次軌跡為兩個(gè)點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
②若a=c，則曲線過原點(diǎn)；
③若0＜a＜c，則曲線不存在；
④既是軸對稱也是中心對稱圖形．
其中正確命題的序號是①②③④．

Answer 1

分析 由題意設(shè)P（x，y），則$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，對4個(gè)選項(xiàng)加以驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意設(shè)P（x，y），則$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，
即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，
①當(dāng)a=0，c=1時(shí)，軌跡為兩個(gè)點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），正確；
②a=c，（0，0）代入，方程成立則曲線過原點(diǎn)，即故②正確；
③∵（|PF₁|+|PF₂|）_min=2c，（當(dāng)且僅當(dāng)，|PF₁|=|PF₂|=c時(shí)取等號），
∴（|PF₁||PF₂|）_min=c²，
∴若0＜a＜c，則曲線不存在，故③正確；
④把方程中的x被-x代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對稱；
把方程中的y被-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對稱；
把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，
故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；故④正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評 本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用新定義是關(guān)鍵．