Question

15．已知A，B，C是球O的球面上三點，且$AB=AC=3，BC=3\sqrt{3}，D$為該球面上的動點，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半，則三棱錐D-ABC體積的最大值為$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出三角形ABC外接圓的半徑，設(shè)出球的半徑，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半徑，則三棱錐D-ABC體積的最大值可求．

解答 解：如圖，在△ABC中，∵$AB=AC=3，BC=3\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{3}^{2}+{3}^{2}-（3\sqrt{3}）^{2}}{2×3×3}=-\frac{1}{2}$，則A=120°，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$，得r=3．
設(shè)球的半徑為R，則${R}^{2}=（\frac{R}{2}）^{2}+{3}^{2}$，解得$R=2\sqrt{3}$．
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱錐D-ABC體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×3\sqrt{3}=\frac{27}{4}$．
故答案為：$\frac{27}{4}$．

點評 本題主要考查空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．