Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常數(shù)．

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若存在實數(shù)k，使得關于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） .

【解析】

（1）求出,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，函數(shù)在上的最小值為.， 且當時，有 .，從而可求的取值范圍.

(Ⅰ)由可得

.

當時,,.

所以 曲線在點處的切線方程為，

即.

（Ⅱ） ，

解得或.

當，即時，在區(qū)間上，，

所以是上的增函數(shù).

所以 方程在上不可能有兩個不相等的實數(shù)根.

當，即時，隨的變化情況如下表

		↘		↗

由上表可知函數(shù)在上的最小值為.

因為 函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，

且當時，有 .

所以 要使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，的取值范圍必須是

.