Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離比為．

（1）求動點(diǎn)P所在曲線E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)Q為曲線E與軸正半軸的交點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線，與曲線E相交于異于點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)C滿足，直線和分別與以C為圓心，為半徑的圓相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求△QAC與△QBC的面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1) 設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為, 由題意可得,整理可得曲線E的方程；

(2) 解法一：可得圓C方程為，設(shè)直線MQ的方程為，設(shè)直線NQ的方程為，分別與圓聯(lián)立，可得，，可得，可得，代入可得答案；

解法二：可得圓C方程為，設(shè)直線MQ的方程為，則點(diǎn)C到MQ的距離為， ， ，設(shè)直線NQ的方程為，同理可得： ，，可得，代入可得答案.

解：（1）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意可得，

整理，得：，即為所求曲線E的方程；

（2）（解法一）由已知得：，，，即圓C方程為

由題意可得直線MQ，NQ的斜率存在且不為0

設(shè)直線MQ的方程為，與聯(lián)立得：

所以，

同理，設(shè)直線NQ的方程為，與聯(lián)立得：

所以

因此

由于直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

設(shè)，，所以，

又在曲線上，所以，即

故，

由于，所以，

（解法二）由已知得：，，，即圓C方程為

由題意可得直線MQ，NQ的斜率存在且不為0

設(shè)直線MQ的方程為，則點(diǎn)C到MQ的距離為

所以

于是，

設(shè)直線NQ的方程為，同理可得：

所以

由于直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

設(shè)，，所以，

又在曲線上，所以，即

故，

由于，所以，