Question

9．根據(jù)下列條件分別求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為$\frac{4}{3}\sqrt{5}$和$\frac{2}{3}\sqrt{5}$，過P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；
（2）經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）和$B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，由題意知$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}$，解得a．在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令x=±c，得|y|；在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令y=±c，得|x|，進(jìn)而得出．
（2）設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)$A（0，2），B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，
則由題意知$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}$，∴$a=\sqrt{5}$．
在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令x=±c，得$|y|=\frac{b^2}{a}$，
在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令y=±c，得$|x|=\frac{b^2}{a}$，
依題意并結(jié)合圖形知$\frac{b^2}{a}=\frac{2}{3}\sqrt{5}$，∴${b^2}=\frac{10}{3}$，
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{{3{y^2}}}{10}=1$或$\frac{y^2}{5}+\frac{{3{x^2}}}{10}=1$．
（2）設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)$A（0，2），B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B可得：$\left\{{\begin{array}{l}{4n=1}\\{\frac{1}{4}m+3n=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$，
故所求橢圓方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．